Question

如图所示，某抛物线与x轴的交点坐标为A（-1，0），B（3，0），其顶点坐标为（1，-4）．
（1）求抛物线的表达式（用两种不同方法解）；
（2）若抛物线与y轴交于C点，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）利用顶点式方程和交点式方程进行解答；
（2）利用（1）中抛物线的解析式求得点C的坐标，然后由三角形的面积公式进行解答即可．

解答：解：（1）方法一：设该抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3）（a≠0）．
把点（1，-4）的坐标代入，得
a（1+1）（1-3）=-4，
解得 a=1，
则该抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-3）=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；
方法二：设该抛物线的解析式为：y=k（x-1）²-4（a≠0）．
把A（-1，0）代入，得
k（-1-1）²-4=0，即4k-4=0，解得 k=1，
则该抛物线的解析式为：y=（x-1）²-4=x²-2x-3，即y=x²-2x-3；

（2）由（1）知，该抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．则C（0，-3）．
故OC=3．
又∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∴△ABC的面积=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6，即△ABC的面积是6．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．