Question

10．二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+6的图象与x轴交于A、B两点（A在左侧），顶点为N．
（1）设点P、Q为该二次函数的图象上在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P，Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由；
（2）若直线AK与y轴交于点K，且△AOK∽△NOA，求点K的坐标．

Answer 1

分析 （1）抛物线顶点为N（0，6），在Rt△AON中，易得AN=4$\sqrt{3}$，于是以A点为圆心，AB=4$\sqrt{3}$为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．
（2）根据相似三角形的性质，可得OK的长，可得答案．

解答 解：（1）存在．
如图，
抛物线顶点为N（0，6），
在Rt△AON中，易得AN=4$\sqrt{3}$，
于是以A点为圆心，AB=4$\sqrt{3}$为半径作圆与抛物线在x轴上方一定有交点Q，连接AQ，
再作∠QAB平分线AP交抛物线于P，连接BP，PQ，
此时由“边角边”易得△AQP≌△ABP．

（2）如图1，
当x=0时，y=6，即N（0，6），
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+6=0，解得x₁=-2$\sqrt{3}$，x₂=2$\sqrt{3}$，（舍）
即A（-2$\sqrt{3}$，0），
当△AOK∽△NOA时，得$\frac{OK}{OA}$=$\frac{AO}{NO}$，即$\frac{OK}{2\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{6}$，
解得OK=2，
K在x轴的上方时，K₁（0，2），
K在x轴的下方时，K₂（0，-2），
综上所述：直线AK与y轴交于点K，且△AOK∽△NOA，点K的坐标为（0，2），或（0，-2）．

点评 本题考察了二次函数综合题，解（1）的关键是利用圆的性质得出Q点，又利用了两边及它们的夹角相等的两个三角形全等；解（2）的关键是利用相似三角形的性质得出OK的长，要分类讨论，以防遗漏．