【题目】设(a,b)是一次函数y=(k-2)x+m与反比例函数的图象的交点,且a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,其中k为非负整数,m、n为常数.
(1)求k的值;
(2)求一次函数与反比例函数的解析式.
【答案】(1)1;(2)y=-x+4;
【解析】
(1)根据a、b是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根,由△>0,k≠0,k是非负整数以及一次函数的一次项系数不得为0,求得k的值;(2)根据(1)中的k值,结合根与系数的关系求得a+b,ab的值,再进一步代入函数解析式进行求解.
(1)因为关于x的方程有两个不相等的实数根,
所以 解得k<3且k≠0,
又因为一次函数y=(k-2)x+m存在,且k为非负整数,所以k=1.
(2)因为k=1,所以原方程可变形为,于是由根与系数的关系知a+b=4,ab=-2,
又当k=1时,一次函数过点(a,b),所以a+b=m,于是m=4,同理可得n=-2,
故所求的一次函数与反比例函数的解析式分别为与.
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【题目】点燃蜡烛,按照与时间成正比例关系变短,长21cm的蜡烛,已知点燃6分钟后,蜡烛变短3.6cm,设蜡烛点燃x分钟后变短ycm,求:
(1)用x表示函数y的解析式;
(2)自变量的取值范围;
(3)此蜡烛几分钟燃烧完?
(4)画出此函数的图像。
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【题目】以直线上点为端点作射线,使,将直角的直角顶点放在点处.
(1)若直角的边在射线上(图①),求的度数;
(2)将直角绕点按逆时针方向转动,使得所在射线平分(图②),说明所在射线是的平分线;
(3)将直角绕点按逆时针方向转动到某个位置时,恰好使得(图③),求的度数.
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【题目】如图1,在锐角△ABC中,∠ABC=45°,高线AD、BE相交于点F.
(1)判断BF与AC的数量关系并说明理由;
(2)如图2,将△ACD沿线段AD对折,点C落在BD上的点M,AM与BE相交于点N,当DE∥AM时,判断NE与AC的数量关系并说明理由.
【答案】(1)BF=AC,理由见解析;(2)NE=AC,理由见解析.
【解析】试题分析:(1)如图1,证明△ADC≌△BDF(AAS),可得BF=AC;
(2)如图2,由折叠得:MD=DC,先根据三角形中位线的推论可得:AE=EC,由线段垂直平分线的性质得:AB=BC,则∠ABE=∠CBE,结合(1)得:△BDF≌△ADM,则∠DBF=∠MAD,最后证明∠ANE=∠NAE=45°,得AE=EN,所以EN=AC.
试题解析:
(1)BF=AC,理由是:
如图1,∵AD⊥BC,BE⊥AC,
∴∠ADB=∠AEF=90°,
∵∠ABC=45°,
∴△ABD是等腰直角三角形,
∴AD=BD,
∵∠AFE=∠BFD,
∴∠DAC=∠EBC,
在△ADC和△BDF中,
∵,
∴△ADC≌△BDF(AAS),
∴BF=AC;
(2)NE=AC,理由是:
如图2,由折叠得:MD=DC,
∵DE∥AM,
∴AE=EC,
∵BE⊥AC,
∴AB=BC,
∴∠ABE=∠CBE,
由(1)得:△ADC≌△BDF,
∵△ADC≌△ADM,
∴△BDF≌△ADM,
∴∠DBF=∠MAD,
∵∠DBA=∠BAD=45°,
∴∠DBA﹣∠DBF=∠BAD﹣∠MAD,
即∠ABE=∠BAN,
∵∠ANE=∠ABE+∠BAN=2∠ABE,
∠NAE=2∠NAD=2∠CBE,
∴∠ANE=∠NAE=45°,
∴AE=EN,
∴EN=AC.
【题型】解答题
【结束】
19
【题目】某校学生会决定从三明学生会干事中选拔一名干事当学生会主席,对甲、乙、丙三名候选人进行了笔试和面试,三人的测试成绩如下表所示:
测试项目 | 测试成绩/分 | ||
甲 | 乙 | 丙 | |
笔试 | 75 | 80 | 90 |
面试 | 93 | 70 | 68 |
根据录用程序,学校组织200名学生采用投票推荐的方式,对三人进行民主测评,三人得票率如扇形统计图所示(没有弃权,每位同学只能推荐1人),每得1票记分.
(1)分别计算三人民主评议的得分;
(2)根据实际需要,学校将笔试、面试、民主评议三项得分按3:3:4的比例确定个人成绩,三人中谁会当选学生会主席?
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
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【题目】如图,在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆,拉线CE和地面所成的角
∠CED=60°,在离电线杆6米的B处安置测角仪AB,在A处测得电线杆上C处的仰角为30°,已知测角仪高AB为1.5米,求拉线CE的长 (结果精确到0.1米,参考数据:≈1.414,≈1.732).
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.
(1)求⊙O的半径OD;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x﹣与x轴交于点B1,以OB1为边长作等边三角形A1OB1,过点A1作A1B2平行于x轴,交直线l于点B2,以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴,交直线l于点B3,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3,…,则点A100的横坐标是_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,AE是∠BAC的平分线,∠ABC的平分线 BM交AE于点M,点O在AB上,以点O为圆心,OB的长为半径的圆经过点M,交BC于点G,交 AB于点F.
(1)求证:AE为⊙O的切线.
(2)当BC=8,AC=12时,求⊙O的半径.
(3)在(2)的条件下,求线段BG的长.
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