Question

已知：在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB边上的高，点E、F分别是AC、BC边上的动点，连接DE、DF、EF，且∠EDF=90°．

（1）当四边形CEDF是矩形时（如图1），试求EF的长并直接判断△DEF与△DAC是否相似．
（2）在点E、F运动过程中（如图2），△DEF与△DAC相似吗？请说明理由；
（3）设直线DF与直线AC相交于点G，△EFG能否为等腰三角形？若能，请直接写出线段AE的长；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB的长，然后利用三角形的面积相等即可求出CD的长，由矩形的性质：对角线相等即可得到EF=CD，问题得解；
（2）△DEF与△DAC相似，首先利用有两对角相等的三角形相似证明△FDC∽△DEA，由相似三角形的性质可得：

DF

DE

=

DC

DA

，再通过有一对角相等，夹边的比值相等的三角形相似即可证明△DEF与△DAC相似；
（3）△EFG能为等腰三角形，因为此等腰三角形的腰和底边不确定，所以要分两种情况讨论①①在等腰△EFG中，EF=EG；②在等腰△EFG中，EF=GF时；根据线段的数量关系和勾股定理就可以求出不同情况下的AE的值．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB²=BC²+AC²=4²+3²，
解得：AB=5，
又S_△ABC=

1

2

AB•CD=

1

2

AC•BC=6，
∴CD=

12

AB

=

12

5

，
∵四边形CEDF是矩形，
∴EF=CD=

12

5

；

（2）△DEF与△DAC相似，理由如下：
∵∠FDE=90°，
∴∠FDC+∠CDE=90，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°，
∴∠CDE+∠EDA=90，
∴∠FDC=∠EDA，
∵∠FCD+∠DCA=90，∠A+∠DCA=90，
∴∠FCD=∠A，
∴△FDC∽△DEA，
∴

DF

DE

=

DC

DA

，
又∵∠FDE=∠CDA=90°，
∴△DEF∽△DAC；

（3）△EFG能为等腰三角形，理由如下：
①如图3：如图所示：设AE=x，
在等腰△EFG中，若EF=EG，
∴∠G=∠EFD，
∵∠DFE=∠DCA，
∴∠DCA=∠G，
∴CD=DG，
又∵DF=DG（三线合一）
∴DF=DC，∠CDA=∠EDF=90°，
∴△ACD≌△EFD，
∴EF=AC=3，
∴EF²=AC²
∴

25

9

x²-6x+9=9
解得x=

54

25

，
∴AE=

54

25

，
②如图4：若EF=GF，
∵EF=FG，EA⊥BC，
∴C为EG中点
∴CD=CE=

12

5

，
∵AC=3，
∴AE=3-

12

5

=

3

5

，
∴△EFG能成为等腰三角形，AE的长为

3

5

或

54

25

．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，等腰三角形的判定，勾股定理的运用以及全等三角形的判定和性质、矩形的性质，题目的综合性很强，难度不小．