Question

2．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形ABCD是矩形，取矩形ABCD四条边的中点得到中点四边形A₁B₁C₁D₁，再取四边形A₁B₁C₁D₁四条边的中点得到中点四边形A₂B₂C₂D₂，…，按此规律继续下去，若矩形ABCD的面积为1，则得到的中点四边形A_nB_nC_nD_n的面积为$\frac{1}{{2}^{n}}$．

Answer 1

分析 根据矩形ABCD的面积、四边形A₁B₁C₁D₁面积、四边形A₂B₂C₂D₂的面积、四边形A₃B₃C₃D₃的面积，即可发现中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，找到规律即可解题．

解答 解：顺次连接矩形ABCD四边的中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，则四边形A₁B₁C₁D₁的面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{2}$，
顺次连接四边形A₁B₁C₁D₁四边的中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，则四边形A₂B₂C₂D₂的面积为四边形A₁B₁C₁D₁面积的一半，即为矩形ABCD面积的$\frac{1}{{2}^{2}}$，
顺次连接四边形A₂B₂C₂D₂四边的中点得四边形A₃B₃C₃D₃，则四边形A₃B₃C₃D₃的面积为四边形A₂B₂C₂D₂面积的一半，即为矩形ABCD面积的$\frac{1}{{2}^{3}}$，
故中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，则四边形A_nB_nC_nD_n面积为矩形ABCD面积的$\frac{1}{{2}^{n}}$，
又∵矩形ABCD的面积为1，
∴四边形A_nB_nC_nD_n的面积=1×$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
故答案为：$\frac{1}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了中点四边形以及矩形的性质的运用，找到连接矩形、菱形中点所得的中点四边形的面积为原四边形面积的一半是解题的关键．