Question

【题目】如图1所示，已知直线y＝kx+m与抛物线y＝ax2+bx+c分别交于x轴和y轴上同一点，交点分别是点B（6，0）和点C（0，6），且抛物线的对称轴为直线x＝4；

（1）试确定抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是直角三角形？若存在请直接写出P点坐标，不存在请说明理由；

（3）如图2，点Q是线段BC上一点，且CQ＝，点M是y轴上一个动点，求△AQM的最小周长．

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）存在，点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）；（3）4．

【解析】

（1）求得点A的坐标，根据抛物线过点A、B、C三点，从而可以求得抛物线的解析式；

（2））△ABP为直角三角形时，分别以三个顶点为直角顶点讨论：根据直角三角形的性质和勾股定理列方程解决问题；

（3）求出点Q的坐标为（），在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，求出QG+AQ的值即可得出答案．

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A、B两点，对称轴为直线x＝4，

∴点A的坐标为（2，0）．

∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（2，0），B（6，0），C（0，6），

解得a＝，b＝﹣4，c＝6．

∴抛物线的解析式为：y＝；

（2）设P（4，y），

∵B（6，0），C（0，6），

∴BC2＝62+62＝72，PB2＝22+y2，PC2＝42+（y﹣6）2，

当∠PBC＝90°时，BC2+PB2＝PC2，

∴72+22+y2＝42+（y﹣6）2，

解得：y＝﹣2，

∴P（4，﹣2）；

当∠PCB＝90°时，PC2+BC2＝PB2，

∴42+（y﹣6）2+72＝22+y2，

解得：y＝10，

∴P（4，10）；

当∠BPC＝90°时，PC2+PB2＝BC2．

∴42+（y﹣6）2+22+y2＝72，

解得：y＝ ．

∴P（4，）或P（4，）．

综合以上可得点P的坐标为（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或P（4，3﹣）．

（3）过点Q作QH⊥y轴于点H，

∵B（6，0），C（0，6），

∴OB＝6，OC＝6，

∴∠OCB＝45°，

∴∠CQH＝∠HCQ＝45°，

∵CQ＝，

∴CH＝QH＝

∴OH＝

∴点Q的坐标为（），

在x轴上取点G（﹣2，0），连接QG交y轴于点M，则此时△AQM的周长最小，

∴AQ＝

QG＝

∴AQ+QG＝

∴△AQM的最小周长为4．