Question

当任意k个连续的正整数中都必有一个正整数，它的数字之和是11的倍数时，我们把其中每个连续k个正整数的片断都叫做一条长度为k的“龙”，求最短的“龙”的长度．

Answer 1

分析：首先证k≤28时，题设的性质不成立，由当k=28时，对于1，2，3，4，…，28这28个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被11整除，即可得k≤28时，题设的性质不成立；然后证k=29时，题设的性质成立，由于设a₁，a₂，…，a₂₉为任意的连续29个正整数，则这29个正整数中，个位数字为0的整数最多有三个，最少有两个，所以分别从当a₁，a₂，…，a₂₉中个位数字为0的整数有三个、两个，个位数字为0的整数时去分析即可求得答案．

解答：解：先证k≤28时，题设的性质不成立．
当k=18时，对于1，2，3，…，28这28个连续整数，任意一个数的数字之和均不能被11整除．
故k≤28时，题设的性质不成立．
因此，要使题设的性质成立，应有k≥29．
再证k=29时，题设的性质成立．
设a₁，a₂，…，a₂₉为任意的连续29个正整数，则这29个正整数中，个位数字为0的整数最多有三个，最少有两个，可以分为：
（1）当a₁，a₂，…，a₂₉中个位数字为0的整数有三个时，
设a_i＜a_j＜a_m，且a_i、a_j、a_m的个位数字为0，则满足a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_j+1…a_m为连续的20个整数，其中a_i，a_i+1，…，a_i+9，a_m无进位．
设n_i表示a_i各位数字之和，则前20个数各位数字之和分别为n_i，n_i+1，…，n_i+11．
故这连续的20个数中至少有一个被11整除．
（2）当a₁，a₂，…，a₂₉中个位数字为0的整数有两个时（记为a_i），
①若整数i满足1≤i≤11时，则在a_i后面至少有18个连续整数，于是a_i，a_i+1，…，a_i+11这18个连续整数的个位数字之和也为11个连续整数，所以，必有一个数能被11整除．
②若整数i满足12≤i≤29时，则在a_i前面至少有12个连续整数，不妨设a_i-12，a_i-11，…，a_i-1这12个连续整数的个位数字之和也为12个连续整数，所以，必有一个数能被11整除．
综上，对于任意29个连续整数中，必有一个数，其各位数字之和是11的倍数．
而小于28个的任意连续整数不成立此性质．
∴k的最小值是29．

点评：此题考查了整数问题的综合应用．此题难度较大，解题的关键是注意分类讨论你思想的应用．