Question

【题目】如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3 ）．动点P从A点开始沿折线AO﹣OB﹣BA运动，点P在AO，OB，BA上运动，速度分别为1，，2（长度单位/秒）﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO﹣OB﹣BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．

请解答下列问题：

（1）过A，B两点的直线解析式是　 　，∠BAO=　 　；

（2）当t﹦4时，点P的坐标为　 　；当t﹦　 　，点P与点E重合；

（3）作点P关于直线EF的对称点P′．在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+3；60°；（2）（0，）；；（3）.

【解析】

（1）利用待定系数法可求得直线AB的解析式，根据直角三角形两锐角互余即可求得∠BAO的度数；

（2）根据点P的运动路线，以及点P在不同阶段的运动速度，即可求得；

（3）分三种情况点P在线段OA上，在线段OB上，在线段AB上结合菱形的判定分别进行讨论即可得.

（1）设过A，B两点的直线解析式是y=kx+b，则有

，

解得，，

∴直线AB解析式是y=﹣x+3，

∵∠B=30°，

∴∠BAO=90°-30°=60°，

故答案为：y=﹣x+；60°；

（2）当t﹦4时，OP=（4﹣3）×=，

∴点P的坐标为（0，）；

当点P与点E重合时，（t﹣3）×=t，

解得，t=，

∴t=，点P与点E重合；

故答案为：（0，）；；

（3）①当点P在线段AO上时，过F作FG⊥x轴，G为垂足（如图1）

∵OE=FG，EP=FP，∠EOP=∠FGP=90°，

∴△EOP≌△FGP（SAS），

∴OP=PG，

又∵OE=FG=t，∠A=60°，

∴AG=FGtan60°=t；

而AP=t，

∴OP=3﹣t，PG=AP﹣AG=t，

由3﹣t=t，得t=；

当点P在线段OB上时，形成的是三角形，不存在菱形；

当点P在线段BA上时，

过P作PH⊥EF，PM⊥OB，H、M分别为垂足（如图2），则四边形PMEH是矩形，

∴PM=EH．

∵四边形PEP'F是菱形，

∴EH=FH．

∵OE=t，

∴BE=3﹣t，

∴EF=BEtan60°=3﹣，

∴MP=EH=EF=，又BP=2（t﹣6），

在Rt△BMP中，BPcos60°=MP

即2（t﹣6）=，

解得t=．