Question

如图所示，矩形ABCD，过重心O任意作一直线分别交边于E、F，证明直线EF把矩形分成面积相等的两部分。直线EF把矩形的周长也分成相等的两部分吗？为什么？

Answer 1

证明：∵过重心O任意作一直线分别交边于E、F，
∴AC、BC交于O则O为矩形对称中心。
∴四边形ABFE与四边形EFCD关于点O对称，
∴作直线EF使其经过点O，直线EF即把矩形分成面积相等的两部分。
证明：∵四边形ABCD是矩形，O为重心。
∴AO=CO=BO=DO，∠AOE=∠COF，∠DAO=∠ACB=∠DBC。
∴△AOE≌△COF（AAS）。
∴AE=CF。
∴DE=BF。
∴AE+AB+BF=CF+CD+DE。
∴直线EF把矩形的周长也分成相等的两部分。