Question

如图，已知⊙O上有A、B、C三点，D是OB延长线上的点，∠BDC=30°，CD是⊙O的切线，⊙O的半径为

2

．
（1）求∠BAC的度数；
（2）如果AC∥BD，则四边形ACDB是什么四边形，并求其周长．

Answer 1

分析：（1）首先连接OC，由CD是⊙O的切线，可知OC⊥CD，继而求得∠BOC的度数，然后由圆周角定理，求得∠BAC的度数；
（2）由AC∥BD，易证得AB∥CD，即可得四边形ACDB是平行四边形；然后由直角三角形的性质，求得BD与CD的长，继而求得其周长．

解答：解：（1）连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
即∠OCD=90°，
∵∠BDC=30°，
∴∠BOC=60°，
∴∠BAC=

1

2

∠BOC=30°；

（2）四边形ACDB是平行四边形，
∵AC∥BD，
∴∠D+∠ACD=180°，
∴∠ACD=180°-30°=150°，
∴∠ACD+∠BAC=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形；
在Rt△DOC中，∠OCD=90°，∠BDC=30°，
∴OD=2OC=2

2

，
∴CD=

OD2-OC2

=

6

，BD=OB=

2

，
∴四边形ACDB的周长为：2（

2

+

6

）=2

2

+2

6

．

点评：此题考查了切线的性质、平行四边形的判定与性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．