Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC于点E，BE交⊙O于点F，连接AF，AF的延长线交DE于点P．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求tan∠ABE的值；
（3）若OA=2，求线段AP的长．

Answer 1

解：（1）证明：如图，连接AD、OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。
∵AB=AC，∴AD垂直平分BC，即DC=DB。
∴OD为△BAC的中位线。∴OD∥AC。
又∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。
∴DE是⊙O的切线。
（2）∵OD⊥DE，DE⊥AC，∴四边形OAED为矩形。
∵OD=OA，∴四边形OAED为正方形。
∴AE=AO。∴。
（3）∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°。∴∠ABF+∠FAB=90°。
∵∠EAP+∠FAB=90°，∴∠EAP=∠ABF。∴tan∠EAP=tan∠ABE=。
在Rt△EAP中，AE=2，
∵，∴EP=1。
∴。

试题分析：（1）连接AD、OD，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由AB=AC，根据等腰三角形的直线得DC=DB，所以OD为△BAC的中位线，则OD∥AC，然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE，从而根据切线的判定定理即可得到结
论。
（2）易得四边形OAED为正方形，然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值。
（3）由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°，再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF，则tan∠EAP=tan∠ABE=，在Rt△EAP中，利用正切的定义可计算出EP，然后利用勾股定理可计算出AP。