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如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AB是⊙O的直径,⊙O交BC于点D,DE⊥AC于点E,BE交⊙O于点F,连接AF,AF的延长线交DE于点P.

(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求tan∠ABE的值;
(3)若OA=2,求线段AP的长.
解:(1)证明:如图,连接AD、OD,

∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°。
∵AB=AC,∴AD垂直平分BC,即DC=DB。
∴OD为△BAC的中位线。∴OD∥AC。
又∵DE⊥AC,∴OD⊥DE。
∴DE是⊙O的切线。
(2)∵OD⊥DE,DE⊥AC,∴四边形OAED为矩形。
∵OD=OA,∴四边形OAED为正方形。
∴AE=AO。∴
(3)∵AB是⊙O的直径,∴∠AFB=90°。∴∠ABF+∠FAB=90°。
∵∠EAP+∠FAB=90°,∴∠EAP=∠ABF。∴tan∠EAP=tan∠ABE=
在Rt△EAP中,AE=2,
,∴EP=1。

试题分析:(1)连接AD、OD,根据圆周角定理得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形的直线得DC=DB,所以OD为△BAC的中位线,则OD∥AC,然后利用DE⊥AC得到OD⊥DE,从而根据切线的判定定理即可得到结
论。
(2)易得四边形OAED为正方形,然后根据正切的定义计算tan∠ABE的值。
(3)由AB是⊙O的直径得∠AFB=90°,再根据等角的余角相等得∠EAP=∠ABF,则tan∠EAP=tan∠ABE=,在Rt△EAP中,利用正切的定义可计算出EP,然后利用勾股定理可计算出AP。
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