Question

6．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，BD=24，在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE．点F是对角线BD上一动点（点F不与点B重合），将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM，连接FM．
（1）求AO的长；
（2）如图2，当点F在线段BO上，且点M，F，C三点在同一条直线上时，求证：AC=$\sqrt{3}$AM；
（3）连接EM，若△AEM的面积为40，请直接写出△AFM的周长．
温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答

Answer 1

分析 （1）在Rt△OAB中，利用勾股定理OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$求解．
（2）由四边形ABCD是菱形，求出△AFM为等边三角形，∠M=∠AFM=60°，再求出∠MAC=90°，可得∠ACM=30°，即可．
（3）求出△AEM≌△ABF，利用△AEM的面积为40求出BF，在利用勾股定理AF=$\sqrt{A{O}^{2}+F{O}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，得出△AFM的周长为3$\sqrt{41}$．

解答 （1）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD，
∵BD=24，
∴OB=12，
在Rt△OAB中，
∵AB=13，
∴OA=$\sqrt{A{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-1{2}^{2}}$=5．

（2）证明：如图2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴FA=FC，∠FAC=∠FCA，
由已知AF=AM，∠MAF=60°，
∴△AFM为等边三角形，
∴∠M=∠AFM=60°，
∵点M，F，C三点在同一条直线上，
∴∠FAC+∠FCA=∠AFM=60°，
∴∠FAC=∠FCA=30°，
∴∠MAC=∠MAF+∠FAC=60°+30°=90°，
在Rt△ACM中，∠ACM=180°-90°-60°=30°．
∴AC=$\sqrt{3}$AM．

（3）解：如图3，连接EM，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠EAB=60°，
由（1）知△AFM为等边三角形，
∴AM=AF，∠MAF=60°，
∴∠EAM=∠BAF，
在△AEM和△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AB}\\{∠EAM=∠BAF}\\{AM=AF}\end{array}\right.$，
∴△AEM≌△ABF（SAS），
∵△AEM的面积为40，△ABF的高为AO
∴$\frac{1}{2}$BF•AO=40，BF=16，
∴FO=BF-BO=16-12=4，
AF=$\sqrt{A{O}^{2}+F{O}^{2}}$=$\sqrt{41}$，
∴△AFM的周长为3$\sqrt{41}$．

点评 此题是四边形的综合题，主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用等边三角形的性质及菱形的性质．