Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=12cm，AD=8cm，BC=22cm，AB为⊙O的直径，动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以2cm/s的速度运动．P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（2）当t为何值时，PQ与⊙O相切？

Answer 1

分析：（1）首先用t分别表示AP和CQ，然后利用平行四边形的性质对边相等就可以求出t；
（2）当PQ是圆的切线时，利用切线的性质把AP，PH，CQ，BQ分别用t表示，然后利用勾股定理就可以求出t．

解答：解：（1）∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PD∥QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四边形；
∵AP=t，CQ=2t，
∴8-t=2t
解得：t=

8

3

，
∴当t=

8

3

s时，四边形PQCD为平行四边形．（3分）

（2）设PQ与⊙O相切于点H过点P作PE⊥BC，垂足为E；
∵直角梯形ABCD，AD∥BC，
∴PE=AB，
∵AP=BE=t，CQ=2t，
∴BQ=BC-CQ=22-2t，EQ=BQ-BE=22-2t-t=22-3t；
∵AB为⊙O的直径，∠ABC=∠DAB=90°，
∴AD、BC为⊙O的切线，
∴AP=PH，HQ=BQ，
∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=t+22-2t=22-t；（5分）
在Rt△PEQ中，PE²+EQ²=PQ²，
∴12²+（22-3t）²=（22-t）²，
即：8t²-88t+144=0，
∴t²-11t+18=0，
（t-2）（t-9）=0，
∴t₁=2，t₂=9；（7分）
∵P在AD边运动的时间为

AD

1

=

8

1

=8秒，
∵t=9＞8，
∴t=9（舍去），
∴当t=2秒时，PQ与⊙O相切．（8分）

点评：此题利用了切线的性质，平行四边形的性质，关键是用运动的观点讨论问题．