Question

108、如图，在等边三角形ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，OE∥AB，OF∥AC，试说明BE=EF=FC．

Answer 1

分析：由题可证△OEF为等边三角形，从而得到∠EOF=60°，OE=OF=EF．又因为BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，所以∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF．所以OE∥AB，OF∥AC，根据两直线平行，内错角相等，得到∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF，即∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF．根据等角对等边得OE=BE，OF=CF，所以BE=EF=FC．

解答：证明：∵△ABC为等边三角形
∴∠ABC=∠ACB=60°
∵OE∥AB，OF∥AC
∴∠OEF=∠ABC=60°，∠OFE=∠ACF=60°
∴∠OEF=∠OFE
∴∠EOF=60°
∴△OEF为等边三角形
∴OE=OF=EF
∵BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB
∴∠ABO=∠OBE，∠ACO=∠OCF
∵OE∥AB，OF∥AC
∴∠ABO=∠BOE，∠ACO=∠COF
∴∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF
∴OE=BE，OF=CF
∴BE=EF=FC．

点评：本题利用了等边三角形的性质和判定，两直线平行的性质，角的平分线的性质，等腰三角形的性质和判定．