Question

已知一元二次方程x²-4x-5=0的两个实数根为x₁、x₂，且x₁<x₂，若x₁、x₂分别是抛物线y=-x²+bx+c与x轴的两个交点A、B的横坐标（如下图所示）。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与y轴的交点为C，抛物线的顶点为D，请直接写出点C、D的坐标并求出四边形ABDC的面积；
（3）是否存在直线y=kx（k>0）与线段BD相交且把四边形ABDC的面积分为相等的两部分？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。［注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（）］

Answer 1

解：（1）由方程x2-4x-5=0得方程的两根x1=-1，x2=5， 所以A、B的坐标分别为A（-1，0）、B（5，0）， 把A（-1，0）、B（5，0）代入y=-x2+bx+c得 ，解得， ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+5； （2）C（0，5）、D（2，9） 如图所示，过D作DE⊥x轴于点E， 则S四边形ACDB=S△AOC+S四边形OCDE+S△EDB = = =16+14 =30； （3）存在满足条件的直线； 设过B、D两点的直线解析式为y=k1x+d， 把B（5，0）、D（2，9）代入y=k1x+d得 ，解得， ∴直线BD的解析式为y=-3x+15， 设y=kx与y=-3x+15的交点为F（m，n）， 作直线OF，则S△OBF=，即OB×n=15， ∴×5n=15， ∴n=6， 又∵点F（m，6）在y=-3x+15上， ∴6=-3m+15， ∴m=3， ∴点F（3，6）， 把点F（3，6）代入y=kx，得6=3k，即k=2。