Question

17．已知点A，B分别是锐角MPN（∠MPN＜45°）的边PM，PN上的点，现将∠P沿AB折叠，叠后点P的对应点为Q．
（1）若折叠后点Q落在∠P的内部，且AQ∥PN．求证：∠NBQ=∠P；
（2）如图，若折叠后AQ⊥PM．求证：∠NBQ=90°-2∠P；
（3）在（2）的条件下，过点Q作QC∥PM交PN于点C，当∠QCP=2∠∠NBQ时，求∠ABQ的度数？

Answer 1

分析 （1）欲证明∠NBQ=∠P，只要证明BQ∥OM即可．
（2）如图2中，AQ与PN交于点K．由∠AKB=90°-∠P=∠Q+∠QBN，∠Q=∠P，推出∠P+∠QBN=90°-∠P，即∠QBN=90°-2∠P
（3）由QC∥PM，推出∠C=∠P，由∠C=2∠NBQ=2（90°-2∠P），推出∠P=36°即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵∠P沿AB折叠，叠后点P的对应点为Q．
∴∠P=∠Q，
∵AQ∥PN，
∴∠P=∠MAQ，
∴∠Q=∠QAM，
∴BQ∥AM，
∴∠NBQ=∠P；

（2）如图2中，AQ与PN交于点K．

∵AQ⊥PM，
∴∠QAP=90°，
∴∠AKB=90°-∠P，
∵∠AKB=∠Q+∠QBN，∠Q=∠P，
∴∠P+∠QBN=90°-∠P，
∴∠QBN=90°-2∠P．

（3）如图3中，

∵QC∥PM，
∴∠C=∠P，
∵∠C=2∠NBQ=2（90°-2∠P），
∴∠P=36°．
∴∠ABQ=∠ABP=180°-45°-36°=99°．

点评 本题考查平行线的性质，翻折变换、三角形内角和等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，熟练掌握所学知识，属于中考常考题型．