Question

【题目】如图，以线段AB为直径作⊙O，CD与⊙O相切于点E，交AB的延长线于点D， 连接BE，过点O作OC∥BE交切线DE于点C，连接AC ．

（1）求证：AC是⊙O的切线 ；

（2）若BD=OB=4，求弦AE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

试题（1）连结OE，根据条件证明△AOC≌△EOC，进而得出∠CAO=∠CEO =90°即可；（2）利用直角三角形的性质和特殊角的三角函数值，可求出线段AE的长．

试题解析：（1）证明：连结OE，

因为CD与⊙O相切于点E，所以OECD，所以∠CEO =90°，

因为OC∥BE，所以∠AOC=∠OBE，∠COE=∠OEB，

因为OB=OE，所以∠OBE=∠OEB，所以∠AOC=∠COE，

因为OA=OE，OC=OC， 所以△AOC≌△EOC，

所以∠CAO=∠CEO =90°， 所以AC是⊙O的切线 ；

（2）解：在Rt△DEO中，因为BD=OB， 所以BE=OD=OB=4，

又因为OB=OE， 所以△AOC是等边三角形，所以∠ABE=60°，

因为AB为直径，所以∠AEB=90°，

在Rt△ABE中，AE=tan60°BE=．