Question

4．观察下列各式：
$\frac{1}{1×3}$=$\frac{1}{2}$×（1-$\frac{1}{3}$），$\frac{1}{3×5}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$），$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$），…，$\frac{1}{5×7}$=$\frac{1}{2}$×（$\frac{1}{13}-\frac{1}{15}$），…
（1）归纳猜想：
$\frac{1}{（2n-1）•（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
（2）巧计算：
$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+$\frac{1}{5×7}$+…+$\frac{1}{99×101}$‘
（3）巧解方程：
$\frac{1}{x（x+3）}$+$\frac{1}{（x+3）•（x+6）}$+$\frac{1}{（x+6）•（x+9）}$=$\frac{3}{2x+18}$．

Answer 1

分析 （1）仿照已知等式，作出猜想即可；
（2）原式利用拆项法变形，计算即可得到结果；
（3）方程利用拆项法变形，计算即可求出解．

解答 解：（1）根据题意得：原式=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）；
（2）原式=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{99}$-$\frac{1}{101}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{101}$）=$\frac{50}{101}$；
（3）方程变形为：$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+3}$+$\frac{1}{x+3}$-$\frac{1}{x+6}$+$\frac{1}{x+6}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2x+18}$，即$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+9}$）=$\frac{3}{2x+18}$，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．

点评 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握拆项法是解本题的关键．