Question

1．已知等边△ABC边长为2，放置在如图的水平桌面上，将△ABC水平向右作无滑动翻滚，使△ABC首次落回开始的位置，则等边△ABC的中心O经过的路径长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

Answer 1

分析 作出图形，根据等边三角形的性质求出三角形的顶点到中心的长度，并求出每一次翻滚的角的度数，然后求出△ABC翻滚一周的角度，最后根据弧长的计算公式列式进行计算即可求解．

解答 解：如图，过点C作CD⊥AB于D，则CD一定经过点O，
∵CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC=$\sqrt{3}$，
∴OC=$\frac{2}{3}$CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
根据等边三角形的性质，∠BCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=$\frac{1}{2}$×60°=30°，
∴每一次翻滚中心O旋转的角度为：180°-2×30°=120°，
等边三角形翻滚3次翻滚一周，
∴点O旋转的角度为：120°×3=360°，
∴中心O经过的路径长是：2π•OC=2π×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π，
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$π．

点评 本题考查了弧长的计算，等边三角形的性质以及旋转变换，作出图形确定出翻滚三次为翻滚一周是解题的关键，本题数形结合的思想更形象直观，且有助于问题的解决．