Question

如图，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接AC、BC，A、C两点的坐标分别为A（-3，0）、C（0，

3

），且当x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a，b，c的值；
（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为项点的三角形与△ABC相似？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意和图形可求出函数的表达式；
（2）结合抛物线内部几何关系和性质求出t值及P点坐标；
（3）假设成立（1）若有△ACB∽△QNB则有∠ABC=∠QBN，寻找相似条件，判断是否满足．

解答：解：（1）∵C（0，

3

）在抛物线上
∴代入得c=

3

，
∵x=-4和x=2时二次函数的函数值y相等，
∴顶点横坐标x=

-4+2

2

=-1，
∴-

b

2a

=-1，
又∵A（-3，0）在抛物线上，
∴9a-3b+

3

=0
由以上二式得a=-

3

3

，b=-

2 3

3

，c=

3

；

（2）由（1）y=-

3

3

x2-

2 3

3

x+

3

=-

3

3

(x-1)(x+3)
∴B（1，0），
连接BP交MN于点O₁，根据折叠的性质可得：0₁也为PB中点．
设t秒后有M（1-t，0），N（1-

t

2

，

3

2

t），O₁(1-

3

4

t，

3

4

t)）
设P（x，y），B（1，0）
∵O₁为P、B的中点可得1-

3t

4

=

1+x

2

，

3

4

t=

y

2

，即P（1-

3t

2

，

3

2

t）
∵A，C点坐标知lAC：y=

3

3

x+

3

，P点也在直线AC上代入得t=

4

3

，
即P（-1，

2 3

3

）；

（3）假设成立；
①若有△ACB∽△QNB，则有∠ABC=∠QBN，
∴Q点在x轴上，AC∥QN但由题中A，C，Q，N坐标知直线的一次项系数为：KAC=

3

3

≠KQN
则△ACB不与△QNB相似．
②若有△ACB∽△QBN，则有

CB

BN

=

AB

QN

…（1）
设Q（-1，y），C（0，

3

），A（-3，0），B（1，0），N（

1

3

，

2 3

3

）
则CB=2，AB=4，AC=2

3

代入（1）得

2

4 3

=

4

( 4 3 )2+(y- 2 3 3 )2

y=2

3

或-

2 3

3

．
当y=2

3

时有Q（-1，2

3

）则QB=4?

AC

QB

=

3

2

≠

CB

BN

不满足相似舍去；
当y=-

2 3

3

时有Q（-1，-

2 3

3

）则QB=

4 3

3

?

AC

QB

=

3

2

=

CB

BN

．
∴存在点Q（-1，-

2 3

3

）使△ACB∽△QBN．
综上可得：（-1，-

2 3

3

）．

点评：此题是二次函数综合题，主要考函数的性质和坐标，几何变换与三角形相似的性质，探究一些存在性问题，难度较大，灵活运用函数性质来解题，考查知识点全面．