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如图,抛物线与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点,与y轴交于点C(0,3).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)在x轴上找一点D,使得以点A、C、D为顶点的三角形是直角三角形,求点D的坐标.
分析:(1)由条件抛物线经过A(1,0),B(-3,0)和C(0,3).由待定系数法就可以直接求出抛物线的解析式.
(2)由条件可以知道∠CAD不可能为直角,从∠ADC和∠ACD′是直角来讨论可以求出点D的坐标.
解答:解;(1)设抛物线的解析式为y=a(x-1)(x+3),由题意,得
3=-3a,
∴a=-1,
∴抛物线的解析式为:y=-(x-1)(x+3),即y=-x2+2x+3.

(2)∵点D在x轴上,
∴在Rt△ACD中,∠CAD不可能为直角.
当∠ADC=90°时,D点与O点重合,
∴D(0,0),
当∠ACD′=90°时,
∴∠D′CO+∠ACO=90°.
∵∠ACO+∠OAC=90°,
∴∠D′CO=∠OAC,
∴△D′CO∽△CAO,
OC
OA
=
DO
CO

3
1
=
DO
3

∴D′O=9,
∴D′(-9,0).
综上所述,D点的坐标为:(0,0)或(-9,0)
点评:本题考查了待定系数法求抛物线的解析式,直角三角形的性质,相似三角形的判定及性质.
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10
+5
10
+5

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(1)求抛物线的解析式;
(2)点M是抛物线对称轴上的一个动点,连接MA、MC,当△MAC的周长最小时,求点M的坐标;
(3)点D(4,k)在(1)中抛物线上,点E为抛物线上一动点,在x轴上是否存在点F,使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形,如果存在,直接写出所有满足条件的点F的坐标,若不存在,请说明理由.

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