Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B与∠C互余，AD=5，BC=13，M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为

 

．

Answer 1

分析：过M作ME∥AB，MF∥DC，分别交BC于点E、F．利用两直线平行同位角相等分别得到两对角相等，由∠B+∠C=90°等量代换得到三角形MEF为直角三角形，再由AD与BC平行，利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形得到AMEB和CDMF都为平行四边形，根据平行四边形的对边相等得到AM=BE，MD=FC，又因为M为AD的中点，且AD=5，得到BE=FC=2.5，进而有BC-BE-FC求出EF的长，再由N为BC的中点，得到BN=CN，两边分别减去BE和FC，得到N为EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由EF的长即可求出MN的长．

解答：解：过M作ME∥AB，MF∥DC，分别交BC于点E、F．

∴∠B=∠MEF，∠C=∠MFE，
∵∠B+∠C=90°，
∴∠MEF+∠MFE=90°，即∠EMF=90°，
∵ME∥AB，MF∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABEM和四边形CDMF都为平行四边形，
∴AM=BE，MD=FC，
又∵M为AD中点，即AM=DM=2.5，
∴BE=FC=2.5，
又∵BC=13，
∴EF=BC-BE-FC=13-5=8，
又∵N为BC中点，即BN=CN，
∴BN-BE=CN-CF，即N为EF的中点，
根据直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半知，MN=

1

2

EF=4．

点评：本题通过作辅助线，利用直角三角形的斜边上的中线的性质求解．