Question

如图，△ABC中，AB=AC，点O为BC中点，OD⊥AB于D，以OD为半径作⊙O交DO的延长线于点E，连接EC．
（1）证明：EC、AC都是⊙O的切线；
（2）若

OD

DA

=

1

2

，求sin∠BAC的值．

Answer 1

分析：（1）先连接AO，并过O作OF⊥AC于F，由于AB=AC，O为BC中点，易得OB=OC，∠BAO=∠CAO，结合已知条件易证△COE≌△BOD，从而有∠CEO=∠BDO=90°，即CE是⊙O的切线．又OD⊥AB，OF⊥AC，∠BAO=∠CAO，利用角平分线定理可得OD=OF，即可证AC是⊙O的切线；
（2）作CM⊥AD于M，设OD=a，DA=2a，由于∠AOB=90°，OD⊥AB，易知△BOD∽△OAD，利用比例线段可求BD，从而可求CF，进而可求AC、CM，于是易求sin∠BAC．

解答：（1）证明：连接AO，并过O作OF⊥AC于F．
∵AB=AC，O为BC中点，
∴OB=OC，∠BAO=∠CAO，
又∵OD=OE，∠COE=∠BOD，
∴△COE≌△BOD，
∴∠CEO=∠BDO=90°，
∴CE是⊙O的切线，
∵OD⊥AB，OF⊥AC，∠BAO=∠CAO，
∴OD=OF，
∴AC是⊙O的切线；

（2）解：作CM⊥AD于M，设OD=a，DA=2a，
∵∠AOB=90°，OD⊥AB，
∴△BOD∽△OAD，
∴BD：OD=OD：DA，
∴BD=

1

2

a，
又∵AC、AB、CE是⊙O切线，
∴CF=CE=BD=

1

2

a，
∴AC=AB=2a+

1

2

a=

5

2

a，CM=DE=2OD=2a，
∴sin∠BAC=

CM

AC

=

2a

5 2 a

=

4

5

．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、角平分线定理、相似三角形的判定和性质、切线的性质、正弦的计算．解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，并求出BD．