Question

（2012•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+bx+c经过A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线上不同的三点坐标，利用待定系数法可求出该抛物线的解析．
（2）根据O、B点的坐标发现：抛物线上，O、B两点正好关于抛物线的对称轴对称，那么只需连接A、B，直线AB和抛物线对称轴的交点即为符合要求的M点，而AM+OM的最小值正好是AB的长．

解答：解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c中，得

4a-2b+c=-4 4a+2b+c=0 c=0

解这个方程组，得a=-

1

2

，b=1，c=0
所以解析式为y=-

1

2

x²+x．

（2）由y=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，可得
抛物线的对称轴为直线x=1，并且对称轴垂直平分线段OB
∴OM=BM
∴OM+AM=BM+AM
连接AB交直线x=1于M点，则此时OM+AM最小
过点A作AN⊥x轴于点N，
在Rt△ABN中，AB=

AN2+BN2

=

42+42

=4

2

，
因此OM+AM最小值为4

2

．

点评：此题在二次函数的综合类型题中难度适中，难点在于点M位置的确定，正确理解二次函数的轴对称性以及两点之间线段最短是解题的关键．