Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB为⊙O的直径，且AB=8cm，AD=16cm，BC=14cm，动点P从B点开始沿BC边向C点以1cm/s的速度运动，动点Q从点D开始沿DA边向A以3cm/s的速度运动；P、Q同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t．

求：
（1）要使四边形PQDC为直角梯形和等腰梯形，t应分别为多少？
（2）要使直线PQ与⊙O相切，求t的值．
（3）分别写出当直线PQ与⊙O相交、相离时t的取值范围．（此问直接写出结果）

Answer 1

【答案】分析：（1）当BP=AQ时，四边形是直角梯形；根据AD-BC=2，可以得到：当DQ-PC=4时，四边形PQDC是等腰梯形，据此即可列方程求得t的值；
（2）过点P作PE⊥AD于E，则当PQ与⊙O相切时，根据切线长定理可得：PQ=BP+AQ，要使直线PQ与⊙O相切，则一定有（BP+AQ）²=AB²+QE²，据此即可列方程求得t的值；
（3）根据（2）解得的结果，t=或t=4，直线PQ从开始运动时与圆相交，一直到当t=时，直线与圆相切；再运动时，直线与圆相离，再到t=4时，直线与圆相切，然后相交，直到停止．
解答：解：（1）由题意知：当t=16-3t，即t=4（秒）时，四边形PQDC是直角梯形；
∵AD-BC=2，
∴当DQ-PC=4时，四边形PQDC是等腰梯形，
则3t-（14-t）=4，
解得：t=4.5（秒）；

（2）过点P作PE⊥AD于E，则当PQ与⊙O相切时，有：
（BP+AQ）²=AB²+QE²
则（16-2t）²=8²+（16-t-3t）²，
解得：t=或t=4；

（3）直线PQ与⊙O相交时：0≤t＜或4＜t≤．
直线PQ与⊙O相离时：＜t＜4．
点评：本题考查了直线与圆的位置关系，以及勾股定理，正确求得直线PQ与圆相切时t的值是关键．