Question

（1）实际问题：在一条笔直的高速公路l的同侧有两处旅游景点A、B，AB=50km，A、B到l的距离分别为10km和40km，要在高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．
现有两种设计方案：图①是方案一的示意图（AP与直线l垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S₁=PA+PB，图②是方案二的示意图（点A关于直线l的对称点是A’，直接写出S₁、S₂的值，并比较它们的大小；
（2）几何模型：如图③在∠AOB的内部有一点P，且∠AOB=45°，OP=50，在射线OA、OB上各找一点M、N，是△PMN的周长最小
请你说出做法、画出草图：并求出周长的最小值．

Answer 1

解：（1）

图①中过B作BC⊥l于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，
则BC=40，
又∵AP=10，
∴BD=BC-CD=40-10=30．
在△ABD中，AD==40，
在Rt△PBC中，
∴BP==40，
S₁=40+10．
图②中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C=50，
又∵BC=40，
∴BA'==10，
由轴对称知：PA=PA'，
∴S₂=BA'=10，
∴S₁＞S₂．
（2）

作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小，
因为PM=MP'，PN=NP''，故可得△PMN的周长为线段P'P''，根据两点之间线段最短可得此时的周长最短．
连接OP'、OP''，则可得OP'=OP''=OP=50，∠P'OP''=90°，
故可得P'P''=50．
分析：（1）根据勾股定理分别求得S₁、S₂的值，比较即可；
（2）作点P关于OA的对称点P'，作点P关于OB的对称点P''，连接P'P''，与OA交于点M，与OB交于点N，则此时△PMN的周长最小．
点评：此题考查了利用轴对称确定最短路径的知识，确定动点为何位置是关键，综合考察了勾股定理的知识，难度一般．