Question

如图，在四边形ABCD中，AC=8，BD=6，且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG²+FH²=

 

．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：

分析：接HG，EH，EF，FG，易证四边形HEFG是平行四边形，因为AC⊥BD，所以HG⊥EH，所以四边形HEFG为矩形，进而可得EG²+FH²=EF²+FG²+EF²+EH²=5²+5²=50，问题得解．

解答：解：连接HG，EH，EF，FG，
∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，
∴HG=EF=

1

2

AC=4，EH=FG=

1

2

BD=3，
∵E，H，是AB，AD中点，
∴HE∥BD，HE=

1

2

BD，
同理FG∥BD，FG=

1

2

BD，
∴四边形HEFG是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴HG⊥EH，
∴四边形HEFG为矩形，
∴EG²+FH²=EF²+FG²+EF²+EH²=5²+5²=50，
故答案为：50

点评：本题考查了中点四边形的性质，矩形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出辅助线利用三角形中位线定理解题．