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如图,已知在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O与边BC交于点D,与边AC交于点E,过点D作DF⊥AC于F.

(1)求证:DF为⊙O的切线;

(2)若DE=,AB=,求AE的长.


(1)证明:连接AD,OD;

∵AB为⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,

即AD⊥BC;

∵AB=AC,

∴BD=DC.

∵OA=OB,

∴OD∥AC.

∵DF⊥AC,

∴DF⊥OD.

∴∠ODF=∠DFA=90°,

∴DF为⊙O的切线.

(2)解:连接BE交OD于G;

∵AC=AB,AD⊥BC,ED=BD,

∴∠EAD=∠BAD.

∴ED=BD,OE=OB.

∴OD垂直平分EB.

∴EG=BG.

又AO=BO,

∴OG=AE.

在Rt△DGB和Rt△OGB中,

BD2﹣DG2=BO2﹣OG2

∴(2﹣(OG)2=BO2﹣OG2

解得:OG=

∴AE=2OG=


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