Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连接BE、AD交于点P，求证：
（1）△BEC∽△ADC；
（2）$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BE}$．

Answer 1

分析 （1）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC；
（2）由（1）得：△BEC∽△ADC，得出对应边成比例$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BE}$，再由AB=AC，即可得出结论．

解答 证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴∠CEB=∠CDA=90°，
∵∠C=∠C，
∴△BEC∽△ADC；
（2）由（1）得：△BEC∽△ADC，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{BC}{BE}$，
∵AB=AC，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BC}{BE}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及等腰三角形的性质．此题难度适中，证明三角形相似是解决问题的关键．