Question

7．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E，交BC于F，连接CE、CF
（1）请用直尺和圆规将右图补全（要求：保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：四边形AECF是菱形．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分线得到点E、F，然后连结AF和CE得到四边形AFCE；
（2）证明AC垂直平分EF，则根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到四边形AECF是菱形．

解答 （1）解：如图，EF为所作；

（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，
∴FA=FC，EF⊥AC，
∴∠CFE=∠AFE，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∴AC垂直平分EF，
∴四边形AECF是菱形．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定．