Question

已知：在△ABC中，AB=AC，若将△ABC顺时针旋转180°，得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由；
（2）若△ABC的面积为3cm²，求四边形ABFE的面积；
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．

Answer 1

（1）∵△FEC是△ABC顺时针旋转180°产生的，
∴ACF、BCE共线且AC=CF，BC=CE（2分），
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AE∥BF且AE=BF．（3分）

（2）过点A作AD⊥BC于点D，
则S_△ABC=

1

2

BC•AD=3cm²．（5分）
又∵平行四边形ABFE中，BC=CE，S_△ABC=S_△AEC，S_△FBC=S_△FEC，
又∵AC=CF，
∴S_△AEC=S_△FBC，
∴四个三角形面积相等，
∴S_{四边形ABFE}=4×S_△ABC=12cm²．（6分）

（3）∠ACB=60°时，四边形ABEF是矩形，（7分）
理由：∵当∠ACB=60°时，AB=AC=BC，
∴AF=BE，（8分）
∴四边形ABEF是矩形．（9分）