Question

20．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）图象过矩形OABC边BC中点D交AB于点E，四边形ODBE的面积为2，则结论：①S_△OAE=S_△OCD；②E为AB中点；③k=2；④AO=AE，其中正确的序号为①②③．

Answer 1

分析 设点D的坐标为（a，b），点E的坐标为（c，d），用k表示出S_△OAE和S_△OCD判断①；
根据S_△OAE=$\frac{1}{2}$S_△OBA，得出AE=BE，判断②；
根据反比例函数的系数的几何意义判断③；
根据①的结论，得到点E的坐标，判断④．

解答 解：连接OB，
设点D的坐标为（a，b），点E的坐标为（c，d），
∵点D、点E在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象上，
∴ab=k，cd=k，
S_△OAE=$\frac{1}{2}$cd=$\frac{1}{2}$k，S_△OCD=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}k$，
∴S_△OAE=S_△OCD，①正确；
∵点D是BC中点，
∴S_△OCD=$\frac{1}{2}$S_△OBC，
∴S_△OAE=$\frac{1}{2}$S_△OBA，
∴AE=BE，即E为AB中点，②正确；
∵四边形ODBE的面积为2，
∴S_△OCD=1，
∴$\frac{1}{2}k$=1，则k=2，③正确；
∵点E的坐标为（$\frac{1}{2}$AB，OA），
∴AO=AE不一定成立，④错误，
故答案为：①②③．

点评 本题考查的是反比例函数的系数的几何意义和反比例函数的性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．