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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ycm2．
    （1）求AD的长及t的取值范围；
    （2）当1.5≤t≤t（t为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；
    （3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．

    【答案】分析：（1）过D作DE⊥BC于E点，如图所示，把梯形的问题转化为矩形和直角三角形的问题，结合题目的已知条件，利用勾股定理即可求出CE，然后也可以求出AD的长度，接着就可以求出点P从出发到点C和点Q从出发到点C所需时间，也就求出了t的取值范围；
    （2）首先通过计算确定P的位置在点P在DC边上，过点P作PM⊥BC于M，如图所示，由此得到PM∥DE，然后利用平行线分线段成比例可以用t表示PM，再利用三角形的面积公式即可求出函数关系式；
    （3）利用函数关系式结合t的取值范围可以得到动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．
    解答：解：
    （1）在梯形ABCD中，AD∥BC、∠B=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示
    ∴AB∥DE
    ∴四边形ABED为矩形，
    ∴DE=AB=12cm
    在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
    ∴EC=5cm
    ∴AD=BE=BC-EC=3cm（2分）
    点P从出发到点C共需=8（秒），
    点Q从出发到点C共需=8秒（3分），
    又∵t≥0，
    ∴0≤t≤8（4分）；

    （2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分）
    ∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
    ∴PC=16-2t
    过点P作PM⊥BC于M，如图所示
    ∴PM∥DE
    ∴=即=
    ∴PM=（16-2t）（7分）
    又∵BQ=t
    ∴y=BQ•PM
    =t•（16-2t）
    =-t2+t（3分），

    （3）∵由（2）知y=-t2+t=-（t-4）2+，
    即顶点坐标是（4，），抛物线的开口向下，
    即抛物线被对称轴分成两部分：
    在对称轴的左侧（t＜4），△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
    在对称轴的右侧（t＞4）时，△PQB的面积随着t的增大而减小；
    即当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
    当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
    当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
    注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
    ②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）
    ③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）．
    点评：此题比较复杂，考查了梯形的性质、直角三角形的性质、矩形的性质、勾股定理及三角形的面积公式等知识，也以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识，具有很强的综合性．
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    （1）求证：△DBC为等边三角形．
    （2）若M为AD的中点，求过M、E、C的抛物线的解析式．
    （3）判定△BCD的外心是否在该抛物线上（说明理由）

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    （1）按要求对下列梯形分割（分割线用虚线）
    ①分割成一个平行四边形和一个三角形；  ②分割成一个长方形和两个直角三角形；

    （2）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=4cm，BC=8cm，∠C=45°，请你用适当的方法对梯形分割，利用分割后的图形求AD的长．

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    （1）求证：BF=BC；
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    （1）求AD的长及t的取值范围；
    （2）求y关于t的函数关系式；
    （3）是否存在这样的t，使得△PQB的面积为
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    ．

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