Question

（1）如图①，M、N分别是⊙O的内接正△ABC的边AB、BC上的点且BM=CN，连接OM、ON，求∠MON的度数；
（2）图②、③、…④中，M、N分别是⊙O的内接正方形ABCD、正五边ABCDE、…
正n边形ABCDEFG…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连接OM、ON，则图②中∠MON的度数是

 

，图③中∠MON的度数是

 

；…由此可猜测在n边形图中∠MON的度数是

 

；
（3）若3≤n≤8，各自有一个正多边形，则从中任取2个图形，恰好都是中心对称图形的概率是

 

．

Answer 1

分析：（1）本题主要证明△OBM≌△OCN就可以证明∠MOB=∠NOC，从而得到∠MON=∠BOC即可求解；
（2）解决方法与（1）的解决方法相同；
（3）边数是偶数的正多边形是中心对称图形，边数是奇数的不是，根据概率公式即可求解．

解答：解：（1）连接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，∠OBC=∠OCB=∠OBA=30°；
又∵BM=CN，
∴△OBM≌△OCN，（2分）
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；（4分）

（2）90°；72°；

360°

n

．（每空1分）（7分）

（3）有6个正多边形，其中有3个是中心对称图形，从中任取两个时有30种等可能的结果，而恰好都是中心对称图形有6种结果，因而恰好都是中心对称图形的概率是

1

5

．（9分）

点评：证明两角相等的问题一般是转化为证明三角形全等的问题，构造三角形是解题的关键．