Question

某园艺公司计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y₁（万元）与投入资金x（万元）成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润y₂（万元）与投入资金x（万元）成二次函数关系，如图2所示．
（1）分别求出利润y₁（万元）与y₂（万元）关于投入资金x（万元）的函数关系式；
（2）如果该园艺公司以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？

Answer 1

解：（1）设y₁=kx，由图①所示，函数y₁=kx的图象过（1，2），
所以2=k•1，k=2，
故利润y₁关于投资量x的函数关系式是y₁=2x，
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y₂=ax²，
由图②所示，函数y₂=ax²的图象过（2，2），
∴2=a•2²，即a=，
故利润y₂关于投资量x的函数关系式是：y₂=x²；

（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8-x）万元，他获得的利润是z万元，
根据题意，得z=2（8-x）+x²=x²-2x+16=（x-2）²+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，
∴当x=8时，z的最大值是32．
分析：（1）设出一次函数解析式和顶点为原点的二次函数解析式，把P，Q分别代入两个函数解析式可得相应的函数解析式；
（2）利用总利润=种植花卉的利润+种植树木的利润，用公式法可得二次函数的最值问题．
点评：此题主要考查了二次函数的应用；求函数解析式通常用待定系数法；掌握函数的图象的特点是解决本题的关键．