Question

【题目】如图，在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是______．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．

Answer 1

【答案】①②④．

【解析】

①在ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，则AF＝FD＝CD，∠DFC＝∠DCF，再根据∠DFC＝∠FCB，得到∠DCF＝∠BCF即可证明；②延长EF，交CD延长线于M，证明△AEF≌△DMF即可转换得到EF＝CF；③由②得到的EF＝FM，知S△EFC＝S△CFM，由于MC＞BE，可得S△BEC≤2S△EFC；④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，再分别用x表示出∠DFE和∠AEF，判断即可.

①∵F是AD的中点，

∴AF＝FD，

∵在ABCD中，AD＝2AB，

∴AF＝FD＝CD，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC＝∠FCB，

∴∠DCF＝∠BCF，

∴∠DCF＝∠BCD，故此选项正确；

延长EF，交CD延长线于M，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∴∠A＝∠MDF，

∵F为AD中点，

∴AF＝FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC＝90°，

∴∠AEC＝∠ECD＝90°，

∵FM＝EF，

∴FC＝EF，故②正确；

③∵EF＝FM，

∴S△EFC＝S△CFM，

∵MC＞BE，

∴S△BEC≤2S△FCM，

∴S△BEC≤2S△EFC，

故S△BEC＝2S△CEF错误；

④设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，

∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，

∴∠EFC＝180°﹣2x，

∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，

∵∠AEF＝90°﹣x，

∴∠DFE＝3∠AEF，故此选项正确．

故答案为：①②④．