Question

15．如图，⊙O中，弦AC=$\sqrt{15}$，沿AC折叠劣弧$\widehat{AC}$交直径AB于D，DB=$\frac{1}{2}$，则直径AB=（　　）

• A． 4
• B． $\frac{15}{4}$
• C． 3$\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 连接CD，CB，过C作CE⊥AB于E，由折叠的性质得到$\widehat{AC}$=$\widehat{ADC}$，根据圆周角定理得到∠B=∠A+∠ACD=∠BDC，由等腰三角形的性质得到BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$，通过△ACE∽△BCE，得到$\frac{CE}{AE}=\frac{BE}{CE}$，得到CE²=AE•BE=$\frac{1}{4}$AE，由勾股定理得到CE²=AC²-AE²=15-AE²，列方程即可得到结论．

解答 解：连接CD，CB，过C作CE⊥AB于E，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{ADC}$，
∴∠B=∠A+∠ACD=∠BDC，
∴CD=CB，
∴BE=DE=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠BEC=90°，
∴∠B=∠ACE，
∴△ACE∽△BCE，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BE}{CE}$，
∴CE²=AE•BE=$\frac{1}{4}$AE，
∵CE²=AC²-AE²=15-AE²，
∴15-AE²=$\frac{1}{4}$AE，
解得：AE=$\frac{15}{4}$，
∴AB=AE+BE=4．
故选A．

点评 本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键．