Question

如图，△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，分别交AB、AD、AC、BC的延长线于E、H、F、G，已知下列四个式子：（1）∠1=

1

2

（∠2+∠3）；（2）∠1=2（∠3-∠2）；（3）∠4=

1

2

（∠3-∠2）；（4）∠4=

1

2

∠1．
其中有两个式子是正确的，它们是

 

和

 

．

Answer 1

分析：由AD平分∠BAC，EG⊥AD，根据三角形的内角和定理得∴∠1=90°-∠BAD=90°-

1

2

∠BAC，而∠BAC=180°-∠2-∠3，于是∠1=90°-

1

2

（180°-∠2-∠3）=

1

2

（∠2+∠3）；再根据三角形外角性质得∠1=∠2+∠4，得到∠4=∠1-∠2=

1

2

（∠2+∠3）-∠2=

1

2

（∠3-∠2）；由此得到正确答案．

解答：解：∵AD平分∠BAC，EG⊥AD，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC，∠AHE=90°，
∴∠1=90°-∠BAD=90°-

1

2

∠BAC，
而∠BAC=180°-∠2-∠3，
∴∠1=90°-

1

2

（180°-∠2-∠3）=

1

2

（∠2+∠3）；
又∵∠1=∠2+∠4，
∴∠4=∠1-∠2=

1

2

（∠2+∠3）-∠2=

1

2

（∠3-∠2）；
故答案为：（1），（3）．

点评：本题考查了三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和为180°．也考查了角平分线和垂线的性质以及三角形外角的性质．