Question

如图，已知直线y=-

1

2

x+1交坐标轴于A、B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过A、D、C作抛物线L₁．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）求抛物线L₁的解析式；
（3）若正方形以每秒

5

个长度单位的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形在运动过程中落在x轴下方部分的面积为S．求S关于滑行时间t的函数关系式；
（4）在（3）的条件下，抛物线L₁与正方形一起平移，同时停止，得到抛物线L₂．两抛物线的顶点分别为M、N，点 P是x轴上一动点，点Q是抛物线L₁上一动点，是否存在这样的点P、Q，使得以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先由直线AB的解析式求出A、B两点的坐标，过D作DE⊥y轴于E，通过构建的全等三角形：△ADE和△BAO，可以求出DE、AE的长，进而能得到点D的坐标；C点坐标的求法同理．
（2）利用待定系数法求抛物线的解析式即可．
（3）随着正方形的移动，正方形在x轴下方的形状会不断的变化，所以要注意三个关键点：A、C、D三点运动到x轴上时t的值，若是这三个值分别是α、β、γ，那么分三种情况：
①0＜t≤α时，正方形在x轴下方的是个小直角三角形；
②α＜t≤β时，正方形在x轴下方的是个梯形；
③β＜t≤γ时，正方形在x轴下方的是个五边形，其面积可由正方形的面积减去x轴上方的小直角三角形得出．
（4）由前面两小题可知道M、D两点的坐标；由相似三角形：△ABO和△HBE可以求出点H的坐标，由于抛物线L₁沿直线AB移动，所以M→N与D→H的移动规律是相同的，可据此得出点N的坐标；由于点P在x轴上，所以MN只可能是平行四边形的边（若MN是对角线，那么点Q必在直线MN的上方，显然不合题意），那么点Q的纵坐标可由M、N的纵坐标差的绝对值得出，在确定点Q的坐标后，根据M→N的平移规律即可得出点P的坐标．

解答：解：（1）由直线y=-

1

2

x+1知：A（0，1）、B（2，0）；
过D作DE⊥y轴于E；
在△ADE与△BAO中，

∠DAE=∠ABO=90°-∠OAB ∠AED=∠BOA=90° AD=AB

∴△ADE≌△BAO（AAS），
则：AE=OB=2，DE=OA=1；
∴OE=OA+AE=3，则：D（1，3）；
由于CD、AB是正方形的一组对边，所以AB

∥

.

CD；
∵点A向下平移1个单位，再向右平移2个单位得B点，
∴点D向下平移1个单位，再向右平移2个单位得C点，即：C（3，2）；
综上，C（3，2）、D（1，3）．

（2）易知A（0，1），设抛物线L₁的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），则有：

c=1 a+b+c=3 9a+3b+c=2

，
解得

a=- 5 6 b= 17 6 c=1

则：y=-

5

6

x²+

17

6

x+1．

（3）①当0＜t≤1时，如图①
Rt△AOB中，tan∠ABO=

OA

OB

=

1

2

，
Rt△QFB中，tan∠QBF=tan∠ABO=

1

2

，BF=

5

t，
∴QF=tan∠QBF•BF=

5 t

2

；
则：S=

1

2

BF•QF=

1

2

•

5

t•

5 t

2

=

5t2

4

；
②当1＜t≤2时，如图②，BF=

5

t，BE=

5

t-

5

；
∴PE=tan∠QBF•BE=

5 t- 5

2

，QF=

5 t

2

；
则：S=

1

2

（PE+QF）•EF=

5

4

（t-1+t）•

5

=

5

2

t-

5

4

；
③当2＜t≤3时，如图③，
Rt△HQP中，tan∠HQP=tan∠QBF=

1

2

，
HP=HE-PE=

5

-

5 t- 5

2

=

3 5 - 5 t

2

；
∴HQ=

HP

tan∠HQP

=2HP=3

5

-

5

t；
则：S=S_{正方形EFGH}-S_△HPQ=（

5

）²-

(3 5 - 5 t)2

4

=-

5

4

t²+

15

2

t-

25

4

．

（4）∵∠ABO=∠HBE，∠AOB=∠HEB=90°，
∴△ABO∽△HBE，
得：

AB

BH

=

OA

HE

，即：

5

BH

=

1

5

，
解得：BH=5；
∴H（7，0）；
由D（1，3）、H（7，0）知，M向右平移6个单位，向下平移3个单位即可得到N点；
因为点P在x轴上，若以M、N、P、Q为顶点的四边形为平行四边形（MN只能是平行四边形的边），则点Q的纵坐标必为±3；
当点Q的纵坐标为3时，代入抛物线的解析式可得：Q（1，3）或（

12

5

，3），向右平移6个单位，向下平移3个单位得：P（7，0）或（

42

5

，0）；
当点Q的纵坐标为-3时，代入抛物线的解析式可得：Q（

17± 769

10

，-3），向左平移6个单位，向上平移3个单位得：P（

-43- 769

10

，0）或（

-43+ 769

10

，0）；
综上，存在符合条件的P点，其坐标为（7，0）或（

42

5

，0）或（

-43- 769

10

，0）或（

-43+ 769

10

，0）．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的求法、相似三角形和全等三角形的应用、图形的平移及其性质、平行四边形的性质等综合知识；（3）题中，一定要抓住图形平移过程中的关键点，在对自变量的取值范围进行界定时，一定要做到不重不漏；最后一题中，首先要判断出MN是平行四边形的边或对角线，然后根据点M、N的坐标来确定P、Q的位置关系；总体来看，题目的难度较大．