Question

（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，则不难证明S₁=S₂+S₃．（不必说理）
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁、S₂、S₃之间有什么关系？（不必证明）
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S₁、S₂、S₃表示，请你确定S₁、S₂、S₃之间的关系并说明理由．

Answer 1

考点：勾股定理

专题：计算题

分析：（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，得到S₁=S₂+S₃；
（2）根据圆的面积公式及勾股定理得出S₁、S₂、S₃之间的关系即可；
（3）S₁=S₂+S₃，理由为：利用等边三角形的面积公式及勾股定理即可得证．

解答：解：（1）如图（1），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，
在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB²=AC²+BC²，即S₁=S₂+S₃；
（2）如图（2），分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S₁、S₂、S₃表示，那么S₁=S₂+S₃，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
∴

π

8

AB²=

π

8

AC²+

π

8

BC²，即S₁=S₂+S₃；
（3）如图（3），分别以Rt△ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S₁、S₂、S₃表示，S₁、S₂、S₃之间的关系为S₁=S₂+S₃，
理由为：在Rt△ABC中，利用勾股定理得：AB²=AC²+BC²，
∴

3

4

AB²=

3

4

AC²+

3

4

BC²，即S₁=S₂+S₃．

点评：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．