Question

小明剪了一些直角三角形纸片，他取出其中的几张进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为 DE．如果∠CAD：∠CDA=1：2，CD=1cm，试求AB的长．
操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将其折叠，使直角边AC落在斜边AB上，且与AE重合，折痕为AD．已知两直角边AC=6cm，BC=8cm，请你求出CD的长．
操作三：如图3，小明又拿出另一张Rt△ABC纸片，将纸片折叠，折痕CD⊥AB于D．请你说明：BC²+AD²=AC²+BD²．

Answer 1

分析：操作一：利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后利用∠CAD：∠CDA=1：2，∠C=90°，求出∠CDA=60°，以及求出AC的长，进而可求得答案；
操作二：利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案；
操作三：分别在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²，在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²+CD²=AC²，即可得出答案．

解答：解：操作一：∵∠CAD：∠CDA=1：2，∠C=90°，
∴设∠CAD=x，∠CDA=2x，
∴x+2x=90°，
解得：x=30°，
故∠CAF=30°，则tan30°=

CD

AC

，
故AC=

CD

tan30°

=

1

3 3

=

3

，
∵将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为 DE，
∴BD=AD，
∴∠DBA=∠DAB，
∵∠CDA=2x=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC=2

3

（cm）．

操作二：∵AC=6cm，BC=8cm，
∴AB=

AC2+BC2

=

62+82

=10（cm），
根据折叠性质可得AC=AE=6cm，
∴BE=AB-AE=10-6=4，
设CD=x，则BD=8-x，DE=x，
在Rt△BDE中，由题意可得方程x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
故CD=3cm；

操作三：
在Rt△BCD中，由勾股定理可得BC²=BD²+CD²
在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD²+CD²=AC²
故BC²+AD²=BD²+CD²+AD²=AC²+BD²．

点评：本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．