Question

1．如图，直线l₁：y=2x+3与y轴交于点B，直线l₂交y轴于点A（0，-1），且直线l₁与直线l₂交于点P（-1，t）．
（1）求直线l₂的函数表达式；
（2）过动点D（a，0）作x轴的垂线与直线l₁，l₂分别交于M，N两点，且MN≤2．
①求a的取值范围；
②若S_△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$，求MN的长度．

Answer 1

分析 （1）可先求得P点坐标，再由A、P两点的坐标，利用待定系数法可求得直线l₂的函数表达式；
（2）①用a可分别表示出M、N的坐标，则可表示出MN的长，由条件可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；②可先求得△APB的面积，由条件可知点M应在y轴左侧，当点M在线段PB上时，则可知S_△ABM=$\frac{2}{3}$S_△APB，则可求得M点到y轴的距离；当点M在线段BP的延长线上时则可知S_△APM=S_△APB，可求得M到y轴的距离；再利用①中MN的长可求得答案．

解答 解：（1）∵点P（-1，t）在直线直线l₁上，
∴t=2×（-1）+3=1，即P（-1，1），
设直线l₂解析式为y=kx+b，
把A、P的坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴直线l₂的函数表达式为y=-2x-1；
（2）①∵MN∥y轴，
∴M、N的横坐标为a，
设M、N的纵坐标分别为y_m和y_n，
∴y_m=2a+3，y_n=-2a-1，
当MN在点P左侧时，此时a＜-1，
则有MN=y_n-y_m=-2a-1-（2a+3）=-4a-4，
∵MN≤2，
∴-4a-4≤2，解得a≥-$\frac{3}{2}$，
∴此时-$\frac{3}{2}$≤a＜-1；
当MN在点P的右侧时，此时a＞-1，
则有MN=y_m-y_n=2a+3-（-2a-1）=4a+4，
∵MN≤2，
∴4a+4≤2，解得a≤-$\frac{1}{2}$，
∴此时-1＜a＜-$\frac{1}{2}$；
当a=-1时，也符合题意，
综上可知当-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$时，MN≤2；
②由题意可知B（0，3），且A（0，-1），
∴AB=4，
∵P（-1，1），
∴S_△APB=$\frac{1}{2}$×4×1=2，
由题意可知点M只能在y轴的右侧，
当点M在线段AP上时，过点M作MC⊥y轴于点C，如图1

∵S_△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$，
∴S_△ABM=$\frac{2}{3}$S_△APB=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{1}{2}$AB•MC=$\frac{4}{3}$，即2MC=$\frac{4}{3}$，解得MC=$\frac{2}{3}$，
∴点M的横坐标为-$\frac{2}{3}$，即a=-$\frac{2}{3}$，
∴MN=4a+4=-$\frac{8}{3}$+4=$\frac{4}{3}$；
当点M在线段BP的延长线上时，过点M作MD⊥y轴于点D，如图2，

∵S_△APM=$\frac{1}{2}{S_{△AMB}}$，
∴S_△ABM=2S_△APB=4，
∴$\frac{1}{2}$AB•MC=4，即2MC=4，解得MC=2，
∴点M的横坐标为-2，
∴MN=-4a-4=8-4=4，
当-$\frac{3}{2}$≤a＜-$\frac{1}{2}$时，MN≤2；
综上可知MN的长度为$\frac{4}{3}$．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、三角形的面积、分类讨论思想等知识．在（1）中求得P点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在（2）①中用a表示出MN的长是解题的关键，在（2）②中求得M的横坐标是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．