Question

6．综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“全等等腰直角三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．两张全等的等腰直角三角形纸片ABC和DEF，∠ACB=∠DFE=90°，AC=BC=DF=EF=12cm．
操作发现
（1）如图1，点F在边AB的中点M处，AB∥DE，将△DEF沿射线AB方向平移acm，则当a=（12-6$\sqrt{2}$）cm时，四边形CAFD是菱形．
（2）如图2，勤奋小组将图1中的△DEF以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，DF交BC于点G，EF交AC于点H，发现CG=HA，请你证明这个结论．
实践探究
（3）如图3，爱心小组将图1中的△DEF沿射线AB方向平移3$\sqrt{2}$cm，接着以点F为旋转中心，按顺时针方向旋转至EF经过点C时，DF交BC于点G，请你求出此时两张等腰直角三角形纸片重叠部分△CFG的面积．
（4）请你参照以上小组的操作过程，将图1中的△DEF在同一平面内进行平移或旋转变换，在图4中画出变换后的图形，标明字母，说明变换方法，并结合图形提出一个问题，不必解答．

Answer 1

分析 （1）先求出AB，进而得出AM，再利用菱形的性质得出AF=12，即可得出结论；
（2）先判断出∠HFA=∠GFC，进而得出△GCF≌△HAF即可得出结论；
（3）先求出FB=3$\sqrt{2}$，再判断出△CMF∽△FKG得出FK=2GK，即可求出BK=GK=$\sqrt{2}$，再用勾股定理求出FG=$\sqrt{10}$，即可得出结论．
（4）先判断出AH=CG，进而判断出△AMH≌△CMG即可得出结论．

解答 解：（1）如图0，在Rt△ABC和DEF中，AC=BC=DF=EF=12cm，
∴AB=DE=12$\sqrt{2}$，
∵点M是AB中点，
∴AM=$\frac{1}{2}$AB=6$\sqrt{2}$，
∵四边形ACDF是菱形，
∴AF=DF=12，
∴a=AF-AM=（12-6$\sqrt{2}$）cm，
故答案为（12-6$\sqrt{2}$）；

（2）如图2，连接CF，∵AC=BC，∠ACB=∠EFD=90°，点F是AB的中点，
∴CF=AF，∠GCF=∠HAF=45°，∠CFA=90°，
∴∠CFA-∠CFE=∠EFD-∠CFE，
∴∠HFA=∠GFC，
∴△GCF≌△HAF，
∴CG=HA，

（3）如图3，连接CM，过点G作GK⊥FB于点K，
在Rt△CMB中，CM=BM=BCsin45°=6$\sqrt{2}$，
由平移知，MF=3$\sqrt{2}$，
∴FB=MB-MF=3$\sqrt{2}$，
∵∠GFK+∠CFM=90°，
∴∠FCM=∠GFK，
∵∠CMF=∠FKG=90°，
∴△CMF∽△FKG，
∴$\frac{CM}{FK}=\frac{MF}{GK}$，∴$\frac{6\sqrt{2}}{FK}=\frac{3\sqrt{2}}{GK}$，
∴FK=2GK，
在Rt△GKB中，∠B=45°，
∴GK=BKtan45°=BK，
∴BK+FK=BK+2GK=BK+2BK=3BK=FB，
∴3BK=3$\sqrt{2}$，
∴BK=GK=$\sqrt{2}$，
在Rt△CMF中，CF=$\sqrt{C{M}^{2}+M{F}^{2}}$=3$\sqrt{10}$，
∵△CMF∽△FKG，
∴$\frac{FG}{CF}=\frac{GK}{MF}$，
∴$\frac{FG}{3\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$，
∴FG=$\sqrt{10}$，
∴S_△CFG=$\frac{1}{2}$CF•FG=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=15；

（4）如图4，画出图形如图4所示，提出问题：将图1中的△DEF沿射线AB方向平移一定距离，DF交BC于点G，EF交AC于点H，连接HM，GM，猜想HM和GM的数量关系，并证明．
解：HM=GM，理由：
连接CM，∵点M是等腰直角三角形的斜边AB的中点，
∴AC=BC，CM=BM，∠BCM=∠A=∠B=45°，
由平移知，DF∥AC，
∴∠BGF=90°，
∴BG=FG，
由平移知，四边形CHFG是矩形，
∴FG=CH，
∴BG=CH，
∴AH=CG，
在△AMH和△CMG中，$\left\{\begin{array}{l}{AH=CG}\\{∠A=∠BCM=45°}\\{AM=CM}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△CMG，
∴HM=GM．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，解（1）的关键是求出AF=DF=12，解（2）的关键是判断出∠HFA=∠GFC，解（3）的关键是得出FK=2GK，解（4）的关键是判断出AH=CG．