Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．点D是直线BC上方抛物线上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD、CD，设点D的横坐标为m，△BCD的面积为s．试求出s与m的函数关系式，并求出s的最大值；

（3）如图2，设AB的中点为E，作DF⊥BC，垂足为F，连接CD、CE，是否存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）s与m的函数关系式为s＝﹣m2+m，s的最大值为；（3）点D的坐标为（ ，）或（，）．

【解析】

（1）由抛物线与x轴的交点可设交点式来求解析式；

（2）过点D作DM∥y轴，交BC于点M，因为点D的横坐标为，所以，可得s与m的函数关系式为，即可利用配方求出最大值；

（3）根据题意可知以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°可分为两种情况：△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC，再利用相等角的三角函数值相等的关系式得到等量关系，解方程即可求得m的值

解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）

∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3

（2）过点D作DM∥y轴，交BC于点M如图1：

∵当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3

∴C（0，3）

∴直线BC解析式为

∵点D的横坐标为

∴

∴

∴

∴s与m的函数关系式为，s的最大值为．

（3）存在点D，使得以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似

如图2，连接BD

∵点E为AB中点，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）

∴E（1，0），OE＝1，OC＝3，

∴

∴，

∵ ，DF⊥BC

∴

∴

∵以C、D，F三点为顶点的三角形与△CEO相似，∠CFD＝∠COE＝90°

∴△CFD∽△COE或△CFD∽△EOC

① 若△CFD∽△COE，则∠FCD＝∠OCE

∴

∴

∴

解得：

∴

∴

② 若△CFD∽△EOC，则∠FDC＝∠OCE

∴

∴

∴

解得：

∴

∴

∴点D的坐标为或．