Question

9．如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{4}$，则$\frac{AD}{AB}$=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Answer 1

分析 根据中点定义可得DE=CE，再根据翻折的性质可得DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，从而得到CE=EF，连接EG，利用“HL”证明Rt△ECG和Rt△EFG全等，根据全等三角形对应边相等可得CG=FG，设CG=a，表示出GB，然后求出BC，再根据矩形的对边相等可得AD=BC，从而求出AF，再求出AG，然后利用勾股定理列式求出AB，再求比值即可．

解答 解：连接EG，
∵点E是边CD的中点，
∴DE=CE，
∵将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，
∴DE=EF，AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴CE=EF，
在Rt△ECG和Rt△EFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=EG}\\{CE=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ECG≌Rt△EFG（HL），
∴CG=FG，
设CG=a，
∵$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{4}$，
∴GB=4a，
∴BC=CG+BG=a+4a=5a，
在矩形ABCD中，AD=BC=5a，
∴AF=5a，
AG=AF+FG=5a+a=6a，
在Rt△ABG中，AB=$\sqrt{A{G}^{2}-B{G}^{2}}$=$\sqrt{（6a）^{2}-（4a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5a}{2\sqrt{5}a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：B．

点评 本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，以及翻折变换的性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．