Question

9．如图，在四边形ABCD中，点P是边BC上一动点，过点P作直线EF∥AB，且与∠ABC、∠CBG的角平分线分别相交于点E、F．
（1）求证：EP=FP；
（2）当点P运动到BC边的中点时，四边形BFCE是什么特殊的四边形？说明理由；
（3）如果四边形BFCE是正方形，求∠ABC的度数．

Answer 1

分析 （1）首先利用平行线的性质以及角平分线的性质得出∠PEB=∠ABE，∠PBE=∠ABE，进而得出EP=BP，FP=BP，即可得出答案；
（2）根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的判断定理，先证四边形BFCE是平行四边形，再证∠EBF=90°即可；
（3）如果矩形BFCE是正方形，那么EB=FB，那么∠BEF=∠BFE=45°，进而得出∠PEB=∠ABE=∠PBE=45°，求出∠ABC=90°．

解答 （1）证明：∵EF∥AB，∠ABE=∠EBP，∠GBF=∠FBP，
∴∠PEB=∠ABE，∠PBE=∠ABE，
∴∠PEB=∠PBE，
即EP=BP；
同理可证FP=BP，
所以EP=FP；

（2）当点P运动到BC边的中点时，四边形BFCE是矩形，
理由：∵PC=BP，由（1）得：EP=FP，
∴四边形CEBF是平行四边形，
∵∠ABE=∠EBP，∠GBF=∠FBP，
∴∠EBP+∠FBP=∠ABE+∠GBF=90°，
∴∠EBF=90°，
∴四边形BFCE是矩形；

（3）在（2）的基础上证明，
如果矩形BFCE是正方形，
那么EB=FB，
那么∠BEF=∠BFE=45°，
∴∠PEB=∠ABE=∠PBE=45°，
∴∠ABE+∠PBE=90°，即∠ABC=90°．

点评 此题主要考查了矩形的判定、正方形的判定以及角平分线的性质和平行线的性质等知识，正确掌握正方形的判定与性质是解题关键．