Question

如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC=270°，且E、F分别为AD、BC的中点，EF=4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是

 

（圆周率为π）．

Answer 1

分析：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM=

1

2

AB，FM=

1

2

CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根据勾股定理求出ME²+FM²=16，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．

解答：解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=360°-270°=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM=

1

2

AB，FM=

1

2

CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°-90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME²+FM²=EF²=4²=16，
∴阴影部分的面积是：

1

2

π(

AB

2

)2+

1

2

π(

CD

2

)2=

1

2

π×（ME²+FM²）=

1

2

π×16=8π．
故答案为：8π．

点评：本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME²+FM²的值是解此题的关键．