Question

【题目】如图所示，BD为⊙O的直径，且BD＝8，是圆周的，A为上任意一点，取AC＝AB，交BD的延长线于C，连结OA，并作AE⊥BD于E，设AB＝x，CD＝y．

（1）写出y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，CA是⊙O的切线？

（3）当CA与⊙O相切时，求tan∠OAE的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣8，（4≤x≤8）；（2）当x＝4时，CA是⊙O的切线；（3）tan∠OAE＝．

【解析】

（1）先证△AOB∽△BAC得，即据此可得函数关系式，由A为MD上任意一点知BM≤AB≤BD，据此可得x的取值范围；
（2）由OA⊥CA时CA是⊙O的切线，据此知OC2=OA2+AC2，从而得出y2+8y=x2，结合函数关系式列方程组求解可得；
（3）由（2）知x=4，y=4时，CA是⊙O的切线，再求得OE=BE-BO=2，AE= ，根据正切函数的定义计算可得．

（1）∵OA＝OB，AB＝AC，

∴∠ABO＝∠BAO＝∠C，

∴△AOB∽△BAC，

∴，即，

∴y＝x2﹣8；

∵A为MD上任意一点，

∴BM≤AB≤BD，

∵BM＝，BD＝8，

∴4≤x≤8，

∴y＝x2﹣8（4≤x≤8）；

（2）若OA⊥CA，则CA是⊙O的切线，

∴OC2＝OA2+AC2，即（4+y）2＝42+x2，即y2+8y＝x2，

由可得y＝4，

∴x＝4，

∴当x＝4时，CA是⊙O的切线；

（3）由（2）知x＝4，y＝4时，CA是⊙O的切线，

∴OE＝BE﹣BO＝×（8+4）﹣4＝2，AE＝，

∴tan∠OAE＝．