Question

【题目】如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．

（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；

（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．

Answer 1

【答案】（1）a=，A（﹣，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，2）或（，0）或（，﹣4）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；

（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；

（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．

试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．

令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴点A的坐标为（﹣，0），B（，0），∴抛物线的对称轴为x=．

（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．

∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．

设点P的坐标为（，a）．

依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．

当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=2或a=0，∴点P的坐标为（，2）或（，0）．

当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（，﹣4）．

综上所述，点P的坐标为（，2）或（，0）或（，﹣4）．

（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，∴直线AC的解析式为．

设直线MN的解析式为y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴点N的坐标为（，0），∴AN==．

将与y=kx+1联立解得：x=，∴点M的横坐标为．

过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．