Question

如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于F，AD交CE于H，求证：
（1）△ACD≌△BCE；
（2）△FCH是等边三角形（提示：可先证明△AHC≌△BFC）

Answer 1

分析：（1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
（2）利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH，再由∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．

解答：证明：（1）∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC=AB，EC=CD=ED，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，

BC=AC ∠BCE=∠ACD CE=CD

，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；

（2）∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，

∠CBF=∠CAH BC=AC ∠BCF=∠ACH

，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
∵∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．